מערכת המספרים הבבלית

מערכת המספרים הבבלית היא במהותה מערכת מספרים פוזיציונלית סקסגסימלית, כלומר הבסיס שלה הוא 60, אולם היא מכילה גם אלמנטים של מערכת מספרים אדיטיבית, כפי שנראה בהמשך.

מדוע הבבלים בחרו דווקא בבסיס 60 ולא בבסיס הטבעי 10 לייצוג מספרים?
רבות היו הספקולציות שהועלו בדבר ההגיון או הנסיבות שהניעו את הבבלים לבחור בבסיס כה יוצא-דופן. חלקן מבוססות על תכונותיו המתמטיות המיוחדות של המספר 60: זהו המספר הנמוך ביותר שמחלקיו הם 1, 2, 3, 4, 5 ו- 6, ולכן מספר זה יכל לספק גמישות רבה למערכת של מידות ומשקולות שבה השתמשו הבבלים. השערות אחרות מנסות לייחס את 60 למושגים שונים, כמו מספר החודשים בשנה או מספר הימים בשנה (במעוגל, 360). כדאי לציין שבסיס הספירה 60 משמש אותנו עד היום במדידה של זמן (חשבתם פעם למה יש לנו 60 דקות בשעה ולא למשל 10 או 100 דקות בשעה ?).

למרות שבסיס הספירה הוא 60 במערכת המספרים הבבלית ישנם שני סימנים בלבד, שבעזרתם ניתן לייצג את כל המספרים!

הסימן הראשון הוא סימן של יתד אנכי המייצג את המספר 1, ונכתב כך:

הסימן השני הוא סימן של יתד פינתי המייצג את המספר 10, ונכתב כך:

כל המספרים במערכת הבבלית נכתבו בעזרת קומבינציות של שני הסימנים הבסיסיים הללו.

מספרים הקטנים מ- 60 נכתבו לפי העקרון האדיטיבי (החיבורי), כאשר הערך של כל מספר נקבע עפ"י הסכום של ערכי הסימנים המרכיבים אותו. ניתן היה להשתמש בסימן של יתד אנכי עד 9 פעמים (10 יתדות אנכיים מוחלפים ביתד פינתי), וביתד פינתי ניתן היה להשתמש עד 5 פעמים (עד שמגיעים למספר 59).

להלן טבלה של כל המספרים בכתיב הבבלי מ- 1 עד 59:

המספרים המתוארים בטבלה למעשה מייצגים את הספרות של המערכת הבבלית (למרות שספרות כאן יכולות להיות מורכבות מצירוף של כמה סימנים!)

עבור מספרים הגדולים מ- 59, השיטה הפוזיציונלית נכנסת לפעולה. משתמשים בחזקות עוקבות של 60, כך שהספרה הימנית ביותר במספר מציינת כמה 60⁰ (אחדות) יש במספר, הספרה שלשמאלה מציינת כמה 60¹ (שישימיות) יש במספר, הספרה שלאחר מכן מציינת כמה 60² יש במספר, וכן הלאה.

לדוגמא נסתכל על המספר הבא:

מהו הערך של המספר הזה ?
בשלב ראשון נבחין מהן הספרות המרכיבות את המספר – הספרה הימנית ביותר היא 40 (כי היא מורכבת מארבעה סימנים של 10), הספרה שלשמאלה היא 46 (כי היא מורכבת מארבעה סימנים של 10 ושישה סימנים של יחידה), הספרה שלשמאלה היא 57 (כי היא מורכבת מחמישה סימנים של 10 ושבעה סימנים של יחידה), והספרה האחרונה היא 1. לשם נוחות נשתמש בסימון 1,57,46,40 כדי לציין את הספרות המרכיבות את המספר.
הערך של כל ספרה נקבע עפ"י מיקומה במספר – כל ספרה מציינת מהי הכפולה של החזקה המתאימה של 60, כאשר מתחילים ב- 60⁰ (אחדות) וממשיכים בחזקות עוקבות של 60. מכאן הערך של המספר הוא:

424,000 = 40 + 60∙ 46 + 60²∙ 57 + 60³∙ 1

וכיצד נרשום את המספר 147 בשיטה הבבלית?
תחילה נעביר את המספר לייצוג בבסיס 60. מהי החזקה הגבוהה ביותר של 60 שנכנסת במספר 147 ? זוהי 60= 60¹, כיוון ש 3,600 = 60² הוא כבר גדול מידי. כמה פעמים 60 נכנס ב- 147? פעמיים ונשארת שארית 27, ולכן הספרה הראשונה מצד שמאל תהיה 2, ולאחר מכן תופיע הספרה 27, שתייצג 27 אחדות.

לכן הספרות המרכיבות את המספר בבסיס 60 הן 2,27. עתה נותר לנו לרשום את הספרות האלה בכתיב הבבלי בעזרת הסימנים הבסיסיים של 1 ו- 10 (ניתן להיעזר בטבלה), ונקבל:

נבדוק את עצמנו ע"י חישוב ערך המספר: 147 = 27+ 120 = 27 + 60∙ 2, ואכן צדקנו.

אחת הבעיות הבולטות שהיתה קיימת במערכת המספרים הבבלית היא היעדר סימן לאפס, מאחר שמושג האפס עדיין לא היה קיים בתקופת הבבלים. בעיה זו גורמת לכך שערכו האמיתי של מספר הכתוב בשיטה הבבלית לא ניתן להיקבע רק על סמך הכתוב, אלא נובע מההקשר שבו המספר הזה מופיע, כי הרי לא ניתן לדעת אם בין שתי ספרות צמודות צריך להיות גם אפס אחד לפחות, או באותה מידה ייתכן שצריך להיות אפס או הרבה אפסים בסוף המספר.

לכן, לדוגמא הערך של המספר יכול להיות 147, בהנחה שלא חסרים אפסים בכלל, או – בהנחה שחסר אפס אחד בסופו של המספר, 8820 = 0 + 60 ∙ 27 + 60²∙ 2 , וההבדל הוא גדול !

הדבר שקול בדיוק למקרה של המספר העשרוני 147, לעומת המספר העשרוני 1470. הראשון הוא 7 + 10∙ 4 + 10²∙ 1, שהוא 147, והשני הוא 0 + 10 ∙ 7 + 10²∙ 4 + 10³∙ 1, שהוא 1470, והמספרים שונים כמובן.

יוצא מכאן שהמספר יכול לייצג למעשה אינסוף מספרים, בגלל החסרון של סימן מיוחד לאפס. כמובן שהקשר מילולי יבהיר לנו ברוב המקרים למה הכוונה, אבל המספר הכתוב כשלעצמו לא מצביע על ערכו האמיתי. הדבר מעיד על החשיבות הרבה שיש למספר אפס במערכות מספרים פוזיציונליות, ועל הקושי שהיה לתרבויות העתיקות בתפיסה של מושג האפס.

רק בתקופה מאוחרת יותר (בסביבות 300 לפנה"ס), הבבלים המציאו סימן מיוחד לציון מקום ריק בין שתי ספרות באמצע המספר, אבל עדיין היה חסר להם סימן לציון מקומות ריקים בסוף המספר. רק כ- 450 שנה לאחר מכן מופיע אצל הבבלים סימן מיוחד לאפס שמשמש גם באמצע המספר וגם בסופו.

ראשית המתמטיקה - פרקים נוספים:

ראשית המתמטיקה
עצם האישנגו
מערכות מספרים קדומות
מערכת המספרים המצרית
מערכת המספרים הרומאית
מערכות מספרים פוזיציונליות (מיקומיות)
מערכת המספרים ההודו-ערבית