עמוד הבית > מדעים > פיסיקה ומבנה החומר [כימיה]
גליליאו : כתב עת למדע ומחשבה


תקציר
הרעיון של גדלים נשמרים הוא מרכזי בפיזיקה. הוא שימושי לפתרון בעיות העוסקות במערכות מורכבות, ומהותי מבחינה עקרונית. המאמר סוקר בקצרה מספר גדלים נשמרים מרכזיים, כמו חוק שימור האנרגיה.



שמור לי ואשמור לך : גדלים נשמרים וסימטרייה
מחברת: מיכל סחף


הרעיון של גדלים נשמרים הוא מרכזי בפיזיקה. הוא שימושי לפתרון בעיות העוסקות במערכות מורכבות, ומהותי מבחינה עקרונית. נסקור כאן בקצרה מספר גדלים נשמרים מרכזיים, ונעסוק במושג השימור מן הבחינה העקרונית

האנרגיה היא אחד הגדלים הפיזיקליים השימושיים ביותר. קשה לענות על השאלה "מהי אנרגיה?", ואנו נשתמש לצורך הדיון בהגדרה אינטואיטיבית, לפיה גוף הוא בעל אנרגיה אם יש לו יכולת לבצע דבר-מה, או לחולל שינוי במערכת. קיימות צורות רבות של אנרגיה: למשל, אנרגיה קינטית (המכונה לעיתים אנרגיית מהירות) שהיא האנרגיה של גוף הנמצא בתנועה; ההבדל בין התנגשות במכונית חונה בסמטה צדדית, להתנגשות חזיתית בכביש מהיר, מקורו בהבדל באנרגיה הקינטית. אנרגיה אחרת היא אנרגיה פוטנציאלית: זוהי אנרגיה שיש לגוף הנמצא בהשפעת כוח (או בעצם - שדה), אשר ביכולתו להעניק לגוף מהירות. כזו היא האנרגיה של גוף הנמצא בגובה ועשוי ליפול ולהתרסק על שמשת מכוניתך (אנרגיה פוטנציאלית כובדית), או של גוף הקשור לקפיץ מתוח (אנרגיה פוטנציאלית אלסטית). גם קרינה אלקטרומגנטית נושאת אנרגיה; גם הכוחות הפועלים בתוך גרעין האטום מעניקים אנרגיה פוטנציאלית. כל צורות האנרגיה האלה, ואחרות, מתקשרות זה לזה בחוק השימור: אנרגיה אינה נעלמת ואינה נוצרת יש מאין - האנרגיה נשמרת, והיא מתגלגלת מצורה אחת לאחרת. דוגמה קלאסית לכך היא הנדנדה: כאשר הנדנדה נמצאת בנקודה הגבוהה ביותר שלה, יש לה אנרגיה פוטנציאלית בשל הגובה שהיא נמצאת בו; כאשר היא יורדת, היא רוכשת מהירות על חשבון הגובה. הסכום של אנרגיה פוטנציאלית ואנרגיה קינטית הוא קבוע בכל עת, אך כל אחת מהשתיים אינה קבועה כשלעצמה. כוח הכובד הוא "כוח משמר", והנדנדה הנעה בהשפעתו, ללא הפרעות, תהיה בעלת אנרגיה כוללת קבועה.

בהקשר לשימור יש להגדיר "מערכת סגורה", שבתוכה מתקיים השימור, ואשר אין לה אינטראקציה עם החוץ. אם נחזור לדוגמת הנדנדה, ונניח כי זוהי נדנדה אמיתית, הרי שכעבור זמן מה תחל הנדנדה להאט בהשפעת החיכוך, ועד מהרה תעצור לחלוטין, ואז לא תהיה לה אנרגיה כלל - לא קינטית ולא פוטנציאלית. אם כן, לאן נעלמה האנרגיה! התשובה היא, שבמקרה כזה האוויר וצירי הנדנדה, באמצעות החיכוך, "לקחו" את אנרגיית התנועה והפכו אותה לאנרגיית חום, וכעת חלקיקי האוויר, וכן חלקיקי המתכת שבצירים, נעים מהר יותר מכפי שהיו נעים אלמלא האטו את הנדנדה. לכן המערכת הסגורה שלנו אינה הנדנדה (אשר בה לא מתקיים שימור אנרגיה), אלא מערכת הכוללת את הצירים ואת האוויר הסובב.

ביטויים מתמטיים הכוללים את כל האנרגיות הרלוונטיות של מערכת מסוימת הם בעלי חשיבות רבה, הן בפיזיקה קלאסית והן בפיזיקה קוונטית. באמצעות גודל המכונה המילטוניאן או לגרנגי'אן, הנבדל מההמילטוניאן בהבדל אלגברי קל) ניתן לבטא את תכונותיה החשובות של מערכת פיזיקלית בהתבסס על האנרגיות שלה. אוסף משוואות, המכונות משוואות המילטון, מאפשר להפיק מההמילטוניאן מידע על אודות המערכת, השקול למידע שניתן לקבל עליה מניתוח ניוטוני של הכוחות והתאוצות בה, באמצעות משוואות תנועה. העבודה באמצעות משוואות אנרגיה היא לעיתים קרובות קלה לאין-ערוך מהעבודה באמצעות משוואת תנועה. ניתן לומר עוד דברים רבים ומעניינים על אודות מושג האנרגיה, אך נניח לו כעת ונעסוק בגדלים נשמרים אחרים.

התנע הוא גודל וקטורי. בשונה מהאנרגיה, שהיא חסרת כיוון (סקלרית), התנע הוא גודל בעל כיוון. התנע של גוף הוא מכפלת מאסתו של גוף במהירות שלו, וכיוון התנע ככיוון המהירות.

שימורו של גודל וקטורי חייב להתחשב בכיוון. על מנת לדון בו, עלינו לפרק אותו לרכיביו. במערכת סגורה, כל אחד מרכיבי התנע נשמר. לפיכך, אם ברשותנו שני כדורים המתנגשים זה בזה (הבה נניח כי אין בסביבה כל גורם אחר העשוי להוסיף או לגרוע תנע, לצורך הפשטות), נוכל לנתח את המערכת לפני ההתנגשות וגם אחריה, ובשני המקרים, בלי תלות במאסות, במהירויות ובזווית ההתנגשות, נקבל כי: סכום תנעי הכדורים בציר X (או Y, או Z) לפני ההתנגשות, שווה לסכום לאחר ההתנגשות. הדבר נכון לא רק לגבי שני כדורים, אלא גם לגבי חמישים, או אלף, או מיליון כדורים! ניקח לדוגמה התפוצצות פצצה: אם מלכתחילה הייתה הפצצה במנוחה (כלומר בעלת תנע אפס), הרי שגם לאחר ההתפוצצות, אם נאסוף את התנע של כל חלקיקיה, נמצא כי סכום התנעים הוא אפס בכל כיוון שנבחר. לא משנה כמה מורכבת המערכת: כל אחד מרכיבי התנע נשמר. כשדנו בשימור אנרגיה, אמרנו כי אנרגיה אינה יכולה ללכת לאיבוד. גם התנע אינו הולך לאיבוד, ויתרה מזו: תנע אינו יכול להחליף כיוון. סכום התנעים בכיוון מסוים יישמר לעד, במערכת סגורה. על מנת לקחת תנע בכיוון ציר X ולהמיר אותו לתנע בציר Y יש צורך בכוח חיצוני. הכוחות הפנימיים יכולים להעביר תנע מכדור אחד למשנהו, אך לא מכיוון אחד לאחר. אם קיים כוח המשנה את התנע, נאמר כי גודל הכוח שווה לשינוי בתנע.

דנו עד כה בשני גדלים נשמרים, הקשורים לתנועה בקו ישר. גודל דומה לתנע, הקשור לתנועה סיבובית, הוא התנע הזוויתי. ניתן לומר כי תנע מתאר את מידת ה"תנועתיות" של גוף; אם כן, תנע זוויתי מתאר את מידת ה"סיבוביות" של גוף. התנע הזוויתי מוגדר כך: זוהי מכפלה של המאסה, של המרחק שבין הגוף לציר הסיבוב, ושל מהירות הגוף. יש לדייק ולומר, כי לוקחים רק את רכיב המהירות הניצב לקו המחבר בין הגוף לציר הסיבוב. אם לגוף יש רכיב בכיוון ציר הסיבוב, כלומר הוא מתקרב אל הציר או מתרחק ממנו - רכיב זה אינו תורם לתנע הזוויתי של הגוף. תנע זוויתי מחושב תמיד ביחס לנקודה כלשהי, שהיא לרוב ציר הסיבוב בתנועה מעגלית.

התנע הזוויתי במערכת סגורה נשמר, כל עוד הכוחות היחידים הפועלים הם כוחות מרכזיים, כלומר כוחות הפועלים בכיוון r, אל ציר הסיבוב או החוצה ממנו.

דוגמה אופיינית לכך היא רקדני בלט או מחליקים על קרח: כאשר הם מסתחררים בזרועות פשוטות, מהירות הסיבוב שלהם איטית. כאשר הם אוספים את גופם, המהירות גוברת. הקטנת רדיוס הסיבוב (r) גורמת לעלייה במהירות. תהליך דומה קורה במערכות כוכבים, אשר מסלוליהם אינם מעגליים אלא אליפטיים; כאלה הם מסלוליהם של כוכבי הלכת. כאשר נפטון, למשל, נמצא בנקודה הקרובה ביותר אל השמש במסלולו, אז גם מהירותו היא הגבוהה ביותר, ולהפך: ככל שהוא מתרחק, מהירותו קטנה. כיצד בדיוק מתרחש תהליך זה? הכוח המושך ומקרב את המאסה למרכז, הוא זה שנותן לה מהירות. לעומת זאת, כאשר המאסה מתרחקת, הכוח גורם להאטה. התנועה אל עבר מקור הכוח, או החוצה ממנו, גורמת לשינוי במהירות v וכן לשינוי ברדיוס r. ביחד, שינויים אלה מתקזזים ויוצרים את שימור התנע הזוויתי. מכאן ניתן להבין אינטואיטיבית מדוע שימור תנע זוויתי מתרחש רק במערכת שבה כל הכוחות הם מרכזיים: אנו מגדירים את התנע הזוויתי ביחס לנקודה שהיא ציר הסיבוב. הכוח ישנה את r ואת v כאמור רק אם הוא נובע מנקודה זו.

ישנם גדלים נשמרים נוספים בטבע, אך שלושת אלה הם מרכזיים ורלוונטיים כמעט בכל מערכת.

קיים קשר בין שימור לסימטרייה. משפט מתמטי מתחילת המאה העשרים, המוכר כמשפט נתר על שם המתמטיקאית הגרמנייה אמי נתר (Noether), קובע כי כל חוק שימור מעיד על סימטרייה המתקיימת במערכת., ולהפך - כל סימטרייה תתבטא בגודל פיזיקלי נשמר. כאשר אנו מדברים על סימטרייה, הכוונה היא כי פעולה כלשהי - הזזה במרחב או בזמן, סיבוב וכיוצא באלה - מותירים את המערכת ללא שינוי. המערכת נקראת אז אינווריאנטית, בלתי משתנה, תחת פעולת הסימטרייה. האינווריאנטיות של מערכת מוגדרת באמצעות אי- השתנות של גדלים מתמטיים מהותיים המאפיינים את המערכת. משפט נתר בגרסתו המקורית מתייחס לפעולות סימטרייה רציפות. פעולות רציפות הן למשל הזזה, או סיבוב, אשר יכולים להיות קטנים כרצוננו; היפוך (שיקוף ראי), לעומת זאת, אינו יכול להיות קטן כרצוננו - יש רק דרך אחת לעשות אותו. לכן הוא אינו פעולת סימטרייה רציפה.

כפי שניתן להבין מהפסקה האחרונה, קשה לדון במשפט נתר בלא להיכנס מעט יותר לעומק המתמטיקה. לא נוכיח את משפט נתר, אך נציג בקצרה את הסימטריות הרלוונטיות לגדלים הנשמרים שסקרנו.

מערכת שבה מתקיים שימור אנרגיה, היא אינווריאנטית להזזה בזמן; מערכת שבה מתקיים שימור תנע היא אינווריאנטית להזזה קווית במרחב (כלומר, הזזה ללא סיבוב), מערכת שבה מתקיים שימור תנע זוויתי היא אינווריאנטית לסיבוב בכל זווית שהיא.

ניתן להציע דרך אינטואיטיבית שתאפשר למצוא היגיון "יומיומי" במשפט נתר: לצורך העניין, נבחן את שימור התנע, ואת מערכת הכדורים המתנגשים שעסקנו בה קודם. אם המערכת הזו אינה נמצאת בחלל אדיש, אשר כל נקודה בו זהה לאחרת, אלא נמצאת למשל בקרבת כוח המשיכה של הארץ, כי אז יש הבדל מהותי בין נקודות שונות במרחב: ככל שהכדורים מתקרבים אל הארץ, הם צוברים מהירות והתנע שלהם אינו נשמר. לכן מערכת הכדורים, אשר אינה אינווריאנטית להזזה במרחב, לא משמרת את התנע. אם נרצה מערכת משמרת נצטרך לכלול את הארץ והכדורים במערכת אחת, המרחפת בחלל אדיש והינה אינווריאנטית להזזה במרחב. זאת בתנאי שנתעלם מהשמש, וכן הלאה... הנקודה היא, שעבור מערכת הכדורים, כוח המשיכה של הארץ הוא מאפיין המבדיל בין נקודות שונות במרחב, ובשל כך המערכת משתנה עם ההזזה במרחב.

הסבר דומה, גם אם פחות פשוט, ניתן למצוא לגדלים נשמרים אחרים.

ביבליוגרפיה:
כותר: שמור לי ואשמור לך : גדלים נשמרים וסימטרייה
מחברת: סחף, מיכל
תאריך: יולי 2004 , גליון 71
שם כתב העת: גליליאו : כתב עת למדע ומחשבה
הוצאה לאור: SBC לבית מוטו תקשורת ולאתר IFEEL
הערות לפריט זה: 1. מיכל סחף עומדת להתחיל תואר שני בפיזיקה ומדריכה במסגרות לנוער שוחר מדע.
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית