מערכת המספרים ההודו-ערבית

מערכת המספרים הפוזיציונלית העשרונית שלנו נקראת גם מערכת המספרים ההודו-ערבית, על- שם ההודים שהמציאו אותה והערבים שהעבירו אותה למערב אירופה בסביבות המאה העשירית לספירה.
מערכת המספרים ההודו-ערבית עברה גלגולים רבים עד שהיא הגיעה לצורתה המוכרת לנו כיום, כפי שניתן לראות מתוך התרשים הבא:

אירופה הנוצרית התוודעה למערכת המספרים ההודו-ערבית באמצעות עבודתו של ליאונרדו פיבונצ'י מפיזה (1250-1175), המתמטיקאי בעל שיעור הקומה היחיד בתקופת ימי-הביניים. פיבונצ'י נולד בפיזה והתחנך בצפון אפריקה, שם היה אביו ממונה על בית-מכס. הנער נסע ברחבי אגן הים התיכון וביקר בספרד, מצרים, סוריה ויוון, מתוך כוונה לעסוק לימים במסחר. בשובו לאיטליה כתב את עבודתו המפורסמת, Liber Abaci (בפירוש מלטינית – ספר החישוב) אשר הציגה בפני המערב את שיטות האריתמטיקה והאלגברה של העולם המוסלמי.
פיבונצ'י ביקש להסביר את יתרונותיה של השיטה העשרונית המזרחית, עם שיטת הפוזיציה והסמל לאפס, "כדי שהגזע הלטיני לא עוד יחסר את הידע הזה". הפרק הראשון בספרו פותח במשפט:

"אלה הן תשע הספרות של ההודים: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
באמצעות תשע הספרות האלה, ועם הסימן הזה 0... ניתן לרשום כל מספר, כפי שיודגם בהמשך..."

באופן אירוני, על-אף הישגיו הרבים, פיבונצ'י זכור כיום בשל סדרת מספרים שמופיעה בבעיה שולית ב- Liber Abaci. הבעיה שהציג פיבונצ'י עסקה במספר הצאצאים של זוג ארנבים דמיוניים:

אדם שם זוג ארנבים במקום המוקף בחומה מכל עבריו. כמה זוגות ארנבים יהיו במקום לאחר שנה, אם טבעם של ארנבים אלה הוא כזה, שבכל חודש, לכל זוג ארנבים נולד זוג ארנבים חדש, ואלה מתחילים להתרבות מן החודש השני ואילך ?

מי יכול למצוא פתרון לחידת הארנבים של פיבונצ'י ?

הפתרון מופיע כאן (נסו קודם בעצמכם !).

פתרון לחידת הארנבים של פיבונצ'י

בחודש הראשון אנו מתחילים עם זוג ארנבים אחד. בחודש השני הזוג הראשון מוליד זוג שני, ולכן יש לנו שני זוגות. בחודש השלישי הזוג הבוגר מוליד עוד זוג צעיר, ואילו הוולדות הקודמים מתבגרים. כלומר, יש לנו עכשיו שלושה זוגות. בחודש הרביעי, כל אחד משני הזוגות הבוגרים מביא לעולם זוג נוסף, ואילו צעירי החודש הקודם מתבגרים, כך שיש חמישה. בחודש החמישי, כל אחד משלושת הזוגות הבוגרים מביא לעולם זוג נוסף, ושני הזוגות הצעירים מתבגרים, כך שיש בסך הכל שמונה זוגות, וכך הלאה (ראו בטבלה שלהלן).

בשלב זה כבר ברור לנו כיצד עלינו לפעול כדי לקבל את מספר הזוגות הבוגרים, הזוגות הצעירים והמספר הכולל של זוגות מדי חודש. נניח שנבדוק רק את מספר הזוגות הבוגרים בחודש מסוים. מספר זה כולל את מספר הזוגות הבוגרים של החודש הקודם, ועוד את מספר הזוגות הצעירים (שהתבגרו בינתיים) מאותו חודש קודם. אבל מספר הזוגות הצעירים בחודש הקודם שווה בעצם למספר הזוגות הבוגרים בחודש שקדם לו. לכן, בכל חודש נתון מספר הזוגות הבוגרים שווה לסכום מספרי הזוגות הבוגרים בשני החודשים הקודמים. לכן, מספר הזוגות הבוגרים נוהג לפי הסדרה הבאה: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... לעומת זאת מספר הזוגות הצעירים נוהג לפי אותה סדרה עצמה, אבל בפיגור של חודש אחד כלומר מספר הזוגות הצעירים הוא 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8... כמובן, המספר הכולל של הזוגות הוא פשוט סכום שתי הסדרות, שיוצר סדרה זהה לסדרת הזוגות הבוגרים בהשמטת האיבר הראשון (1, 2, 3, 5, 8 ...).

גידול האוכלוסין במושבת הארנבים

חודש	זוגות בוגרים	זוגות צעירים	סך הכל
1	1	0	1
2	1	1	2
3	2	1	3
4	3	2	5
5	5	3	8
6	8	5	13
7	13	8	21
8	21	13	34
9	34	21	55
10	55	34	89
11	89	55	144
12	144	89	233

כשממשיכים בלי סוף, מתקבלת מבעיית הארנבים הסדרה:...,377 ,233 ,144 ,89, 55 ,34 ,21 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1

סדרה זו נקראת סדרת פיבונצ'י, והתכונה המעניינת בה היא שכל איבר בסדרה (החל מן השלישי) הוא סכום שני קודמיו. כלומר, אם נסמן את האיבר המופיע במקום ה- n בסדרה בעזרת Fn, אז נקבל את הכלל:
F_n-1+ F_n-2 י = F_n לכל n ≥ 3.
סדרה כזאת, שבה כל איבר החל ממקום מסוים מוגדר בעזרת קודמיו, נקראת סדרה רקורסיבית. עד כמה שידוע, סדרת פיבונצ'י היא הסדרה הרקורסיבית הקדומה ביותר המופיעה במקורות המתמטיים.
לסדרת פיבונצ'י יש תכונות מתמטיות מעניינות והיא חוזרת ומופיעה בתופעות מגוונות הקשורות בארנבים, קרני אור, עלייה במדרגות ואילנות יוחסין של דבורים ממין זכר, ואפילו יש לה קשר הדוק ליחס הזהב.

פרטים נוספים על סדרת פיבונצ'י תוכלו למצוא באתר:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

ראשית המתמטיקה - פרקים נוספים:

ראשית המתמטיקה
עצם האישנגו
מערכות מספרים קדומות
מערכת המספרים המצרית
מערכת המספרים הרומאית
מערכות מספרים פוזיציונליות (מיקומיות)
מערכת המספרים הבבלית